练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N+)的图象与x轴，y轴无交点且关于原点对称，又有函数f（x）=x2-alnx+m-2在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a
    		x
    在（0，1）上为减函数．
    ①求a的值；
    ②若
    1
    p(x)
    =2f′(x)-2x+
    5
    x
    +1    ，数列{an}满足a1=1，an+1=p（an），（n∈N+），数列{bn}，满足bn=
    1
    2
    anan+13n    ，sn=b1+b2+b3+…+bn，求数列{an}的通项公式an和sn．
    ③设h(x)=f′(x)-g(x)-2
    		x
    +
    3
    x
    ，试比较[h（x）]n+2与h（xn）+2n的大小（n∈N+），并说明理由．
    分析：①由幂函数的定义和已知条件求得正整数m=2．根据f′（x）=2x-
    a
    x
    ≥0对于区间（1，2]恒成立，求得a≤2．再根据g′（x）=1-
    a
    2
    		x
    ≤0对于区间（0，1）恒成立，求得 a≥2．综上，可得a的值．
    ②由p（x）=
    x
    x+3
    ，可得
    1
    an+1
    +
    1
    2
    =3（
    1
    an
    +
    1
    2
    ），故数列{
    1
    an
    +
    1
    2
    }是公比为3的等比数列，且首项为
    3
    2
    ．根据等比数列的通项公式求得 an=
    2
    3n-1
    ．再由 bn=
    1
    2
    anan+13n    =
    1
    3n-1
    -
    1
    3n+1-1
    ，用裂项法求得Sn=b1+b2+b3+…+bn的值．
    ③根据h（x）=x+
    1
    x
    ，当n≥2时，[h（x）]n-h（xn）=(x+
    1
    x
    )    n    -（xn+
    1
    xn
    ） 利用二项式定理化为=
    1
    2
    [
    C
    1
    n
    （xn-2+
    1
    xn-2
    ）+
    C
    2
    n
    （xn-4+
    1
    xn-4
    ）+…+
    C
    n-1
    n
    （x2-n+
    1
    x2-n
    ）]≥
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    +
    C
    3
    n
    +…+
    C
    n-1
    n
    =2n-2，即可比较比较[h（x）]n+2≥h（xn）+2n的大小（n∈N+）．
    解答：解：①由幂函数的定义和已知条件可得m2-2m-3为负奇数，故有正整数m=2．
    由于函数f（x）=x2-alnx+m-2在（1，2]上是增函数，故f′（x）=2x-
    a
    x
    ≥0对于区间（1，2]恒成立，∴a≤2．
    由g（x）=x-a
    		x
    在（0，1）上为减函数，可得g′（x）=1-
    a
    2
    		x
    ≤0对于区间（0，1）恒成立，∴a≥2．
    综上，可得 a=2．
    ②∵p（x）=
    x
    x+3
    ，∴an+1=
    an
    an+3
    ，∴
    1
    an+1
    +
    1
    2
    =3（
    1
    an
    +
    1
    2
    ），故数列{
    1
    an
    +
    1
    2
    }是公比为3的等比数列，且首项为
    3
    2
    ．
    ∴an+
    1
    2
    =
    3
    2
    •3n-1，∴an=
    2
    3n-1
    ．
    再由 bn=
    1
    2
    anan+13n    =
    2×3n
    (3n-1)(3n+1-1)
    =
    1
    3n-1
    -
    1
    3n+1-1
    ，可得
    Sn=b1+b2+b3+…+bn，=（
    1
    3-1
    -
    1
    32-1
    ）+（
    1
    32-1
    -
    1
    33-1
    ）+（
    1
    33-1
    -
    1
    34-1
    ）+…+（
    1
    3n-1
    -
    1
    3n+1-1
    ）=
    1
    2
    -
    1
    3n+1-1
    ．
    ③设h(x)=f′(x)-g(x)-2
    		x
    +
    3
    x
    =（x2-2lnx）′-x+2
    		x
    -2
    		x
    +
    3
    x
    =x+
    1
    x
    ，
    当n≥2时，[h（x）]n-h（xn）=(x+
    1
    x
    )    n    -（xn+
    1
    xn
    ）=
    C
    0
    n
    •xn-0•(
    1
    x
    )    0    +
    C
    1
    n
    •xn-1•(
    1
    x
    )    1    +
    C
    2
    n
    •xn-2•(
    1
    x
    )    2    +…+
    C
    n
    n
    •xn-n•(
    1
    x
    )    n    -（xn+
    1
    xn
    ）
    =
    C
    1
    n
    •xn-2    +
    C
    2
    n
    •xn-4    +
    C
    3
    n
    •xn-6    +…+
    C
    n-1
    n
    •x2-n    =
    1
    2
    [
    C
    1
    n
    （xn-2+
    1
    xn-2
    ）+
    C
    2
    n
    （xn-4+
    1
    xn-4
    ）+…+
    C
    n-1
    n
    （x2-n+
    1
    x2-n
    ）]
    ≥
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    +
    C
    3
    n
    +…+
    C
    n-1
    n
    =2n-2，
    试比较[h（x）]n+2≥h（xn）+2n的大小（n∈N+）．
    点评：本题主要考查二项式定理的应用，用裂项法进行数列求和，求函数的导数，比较两个式子的大小的方法，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
    （1）求m的值；
    （2）求满足(a+1)-
    m
    3
    ＜(3-2a)-
    m
    3
    的a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)
    m
    3
    ＜(3-2a)
    m
    3
    的实数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数y=xm2-m-6(m∈Z)的图象与x轴无公共点，则m的值的取值范围是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，则m=
    -1、1、3
    -1、1、3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求实数m的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案