Question

如图，A、B、C分别为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的顶点与焦点，若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  -1+ 5

  2

• B、1-

  2

  2

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

分析：由题意知|AC|²=|AB|²+|BC|²，即（a+c）²=a²+2b²+c²，由此可以推导出该椭圆的离心率．

解答：解：|AB|²=a²+b²，|BC|²=b²+c²，
|AC|²=（a+c）²．
∵∠ABC=90°，
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²，即（a+c）²=a²+2b²+c²，
∴2ac=2b²，即b²=aC、
∴a²-c²=aC、
∴

a

c

-

c

a

=1，即

1

e

-e=1．
解之得e=

-1± 5

2

，又∵e＞0，
∴e=

-1+ 5

2

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的基本性质，解题时结合图形效果较好．