Question

设四点A、B、C、D均在双曲线x²-y²=1的右支上．
（1）若

AB

=λ

CD

（实数λ≠0），证明：

OA

•

OB

=

OC

•

OD

（O是坐标原点）；
（2）若|AB|=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）据两向量共线的充要条件得两向量共线，据两线平行斜率相等，设出直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理代入得证．
（2）利用弦长公式得到斜率与截距的关系，据四边形为两个三角形面积的和表示出面积，转化为求函数的最大值．

解答：解：（1）∵

AB

=λ

CD

，∴

AB

∥

CD

①直线AB的斜率不存在时，
设方程为x=m（|m|＞1），
设A（m，y₁），则B（m，-y₁）且m²-y₁²=1
∴

OA

•

OB

=m²-y₁²=1同理

OC

•

OD

=1
∴

OA

•

OB

=

OC

•

OD

②直线AB斜率存在时，设方程为y=kx+b
与x²-y²=1联立得（1-k²）x²-2kbx-b²-1=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

2kb

1-k2

，x₁x₂=

b2+1

k2-1

则

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

k2+1

k2-1

∵AB∥CD∴直线CD与直线AB斜率相等，同理

OC

•

OD

=

k2+1

k2-1

∴

OA

•

OB

=

OC

•

OD

综上，

OA

•

OB

=

OC

•

OD

（2）AB斜率存在时，4=|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
由（1）②得b2=

2k2(k2-1)

1+k2

∵x₁•x₂＞0∴k²＞1，设P（x₀，y₀），则x₀=

1

2

(x1+x2)=

kb

1-k2

y₀=kx₀+b=

b

1-k2

∴S=

|x0-y0|

2

•

|x0+y0|

2

=

1

2

•

b2

k2-1

=1-

1

1+k2

∵k²＞1∴

1

2

＜S＜1；AB斜率不存在时，易得S=1
综上，四边形OMPN面积的最大值为1．

点评：本题考查向量共线的充要条件；解决直线与圆锥曲线问题的方法；直线与圆锥曲线相交截的得的弦长公式等．