Question

求证：过球O内一定点P的诸弦，被点P分成的两线段之积是一个定值．

Answer 1

答案：
解析：

证明　设球O的半径为R，球心O到定点P的距离为d．设过P的任意一弦为AB，设过P点的直径为MN，当AB是直径MN时 　　MP·NP=(R+d)(R-d)=R2-d2 　　当AB不是直径MN时，如图所示． 　　MN=2R，OP=d，在MN、AB所在的大圆中，由相交弦定理知 　　AP·PB=MP·NP 　　　　　=(R+d)(R-d)=R2-d2 　　∴　AP·PB为定值． 　　命题得证