Question

【题目】已知双曲线以为焦点，且过点

（1）求双曲线与其渐近线的方程

（2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程

Answer 1

【答案】（1）双曲线C的方程为； 渐近线方程为．（2）l方程为．

【解析】

（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；

（2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程．

（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，

则c＝2，，a＝1，

所以b2＝c2﹣a2＝3，

故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　

双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　

（2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，

可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*）

△＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，

又由，可知x1x2+y1y2＝0，

即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得，

故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得，

所以直线l方程为．