Question

【题目】已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先求出函数f（x）的值域A，设函数g（x）的值域为B，讨论m的取值，求出g（x）的值域，根据题意，有AB，由数集的概念，求出m的取值范围．

∵函数f（x）＝2x＝2（x+2）+2＝3，

∴当x∈[﹣2，2]时，2≤f（x）≤3，

∴f（x）的值域是[2，3]；

又当x∈[﹣2，2]时，

①若m＜﹣2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是增函数，最小值g（﹣2）＝9m+2，最大值g（2）＝m+2；

∴g（x）的值域是[9m+2，m+2]，

∴[2，3][9m+2，m+2]，

即，解得﹣1≤m≤0，此时无解；

②若m＞2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是减函数，最小值g（2）＝m+2，最大值g（﹣2）＝9m+2；

∴g（x）的值域是[m+2，9m+2]，

∴[2，3][m+2，9m+2]，

即，解得m≤0，此时无解；

③若﹣2≤m≤2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是先减后增的函数，

最小值是g（m）＝﹣m2+5m﹣2，最大值是max{g（﹣2），g（2）}＝max{9m+2，3m+2}；

∴当m≥0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，

∴[2，3][﹣m2+5m﹣2，9m+2]，

即，

解得m≤1，或m≥4（不符合条件，舍去）；

则取m≤1；

当m＜0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，m+2]，

∴[2，3][﹣m2+5m﹣2，m+2]，

即；

解得m＝1，或m≥4，不符合条件，舍去；

综上知，实数m的取值范围是：[，1]．

故答案为：[，1]．