Question

改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2005年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2005年编号为5，数据如下：

年份（x）	1	2	3	4	5
人数（y）	3	5	8	11	13

（1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于10人的概率．
（2）根据这5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程

y

=

b

x+

a

，并计算第8年的估计值．
参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（1）设考入大学人数至少有1年多于10人的事件为A，这5年中有3年，考入大学人数少于10人，从而求得考入大学人数至少有1年多于10人的概率；
（2）根据最小二乘法求线性回归方程系数公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

求出线性回归方程，然后取x=8，即可求出第8年的估计值．

解答：解：（1）设考入大学人数至少有1年多于10人的事件为A，这5年中有3年，考入大学人数少于10人，
∴考入大学的人数至少有1年多于10人的概率为P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

；
（2）∵

.

x

=

1+2+3+4+5

2

=3，

.

y

=

3+5+8+11+13

5

=8，

5

i=1

xiyi=3+10+24+44+65=146，

5

i=1

x

2 i

=1+4+9+16+25=55，
∴

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x • . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=

146-5×3×8

55-5×9

=2.6，

a

=

.

y

-b

.

x

=8-2.6×3=0.2，
∴

y

=

b

x+

a

=2.6x+0.2，
∴第8年的估计值为2.6×8+0.2=21．

点评：本题主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，以及利用最小二乘法求线性回归方程系数公式求回归直线的方程，同时考查了计算能力，属于基础题．