Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点.

（1）若点P的极坐标为（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲线C的内接矩形周长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线的直角坐标方程.求得的直角坐标，由此判断在直线上，求得直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得的值.

（2）求得椭圆内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.

（1）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为.

点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l上，

所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），

所以代入曲线的方程为，

整理得，

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4.

（2）不妨设Q（），（），

所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）.

当时，矩形的周长的最大值为16.