Question

已知函数f(x)=Asinx+sin(

π

2

-x)，(x∈R)．且f(

π

4

)=

2

，
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）的最大值与取得最大值时x的集合；
（3）若f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式及f(

π

4

)=

2

，求出函数解析式，从而可得函数f（x）的单调减区间；
（2）利用正弦函数的性质，可得函数f（x）的最大值与取得最大值时x的集合；
（3）由条件可得sinα+cosα=

1

4

，两边平方可得sin2α的值．

解答：解：（1）f(x)=Asinx+sin(

π

2

-x)=Asinx+cosx
∵f(

π

4

)=

2

，∴

2

2

A+

2

2

=

2

，∴A=1
∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
令x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），可得x∈[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）
即函数f（x）的单调减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z）；
（2）令x+

π

4

=2kπ+

π

2

，可得x=2kπ+

π

4

（k∈Z），此时求函数f（x）取到最大值

2

；
（3）∵f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，
∴sinα+cosα=

1

4

两边平方可得1+sin2α=

1

16

∴sin2α=-

15

16

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题．