Question

数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.

（Ⅰ）若，，求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；

（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示，；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因为，所以,.     ……1分

因为,则,.     ………………2分

.      ……………………………………………………3分

猜想当时，.   

则   …………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，

与矛盾，因此不成立，    ……………………5分

所以有，从而有，所以.    ……………………6分

当时，，,

所以;       …………………………8分

当时，总有成立.

又，

所以()是首项为，公比为的等比数列，  ……9分     

，,

又因为，所以.       …………………………10分

（Ⅲ）证明：由题意得

                          .

因为，所以. 

所以数列是单调递增数列.   ………………………………………………11分

因此要证，只须证.

由，则<，即. …12分

因此

.

所以.

故当,恒有.      …………………………………14分