Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先证明 A₁B⊥面AB₁C₁，得到 A₁B⊥B₁C₁，又 BB₁⊥B₁C₁，从而证得 B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ．
（2）设AB=BB₁=a，CE=x，求出 BE和A₁E，在△A₁BE中，由余弦定理得到

3a2+x2- 2ax

=2a-x，解得x的值，
可知E是C₁C的中点，故DE∥AC₁，由AC₁⊥平面A₁BD，可得DE⊥平面A₁BD，平面ABD⊥平面BDE．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=B₁B，∴四边形ABB₁A₁为正方形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，∴A₁B⊥面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁．
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ．
（2）证明：设AB=BB₁=a，CE=x．由AC₁⊥平面A₁BD可得AC₁⊥BD，且AC₁⊥A₁D，
再由直三棱柱的性质可得 CC₁⊥BD，故BD⊥平面ACC₁A₁，故BD⊥AC．
∵D为AC的中点，故△BAC为等腰三角形，∴A₁B=A₁C₁=

2

a．
又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁ ，B₁C₁⊥A₁B₁，∴B₁C₁=a，BE=

a2+x2

，
A₁E=

2a2+(a-x)2

=

3a2+x2- 2ax

，在△A₁BE中，由余弦定理得BE²=A₁B²+A₁E²-2A₁B•A₁E•cos45°，
即a²+x²=2a²+3a²+x²-2ax-2

3a2+x2- 2ax

•

2

a•

2

2

，
∴

3a2+x2- 2ax

=2a-x，解得x=

1

2

 a，即E是C₁C的中点．
∵D．E分别为AC．C₁C的中点，∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD，又∵DE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE．

点评：本题考查证明线面垂直，两个平面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、两个平面垂直的判定定理的应用，求出
x的值，是解题的难点．