Question

（2012•北京模拟）某港口海水的深度y（米）是时间t（时）（0≤t≤24）的函数，记为：y=f（t）．
已知某日海水深度的数据如下：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数y=f（t）=Asinωt+b的振幅、最小正周期和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

Answer 1

分析：（1）根据表格数据，可得函数y=f（t）=Asinωt+b的振幅、最小正周期和表达式；
（2）该船安全进出港，需满足：y≥6.5+5，由此可得结论．

解答：解：（1）依题意，最小正周期为：T=12，振幅：A=3，b=10，ω=

2π

T

=

π

6

．
所以y=f(t)=3sin(

π

6

•t)+10．
（2）该船安全进出港，需满足：y≥6.5+5．即：3sin(

π

6

•t)+10≥11.5．
所以sin(

π

6

•t)≥

1

2

．
所以2kπ+

π

6

≤

π

6

•t≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)．
所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．
又0≤t≤24，所以1≤t≤5或13≤t≤17．
所以，该船至多能在港内停留：17-1=16（小时）．

点评：本题考查用三角函数解决一些简单实际问题．三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，掌握正弦函数在区间[0，2π]上的性质是关键．