Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²=4，若直线kx-4y+16=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的取值范围

（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，由题意得到直线kx-4y+16=0与圆C′：x²+y²=9有公共点，可得出圆心到直线的距离d小于等于3，利用点到直线的距离公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答：解：由圆的方程x²+y²=4，得到圆心C（0，0），半径r=2，
∵直线kx-4y+16=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴直线kx-4y+16=0与圆C′：x²+y²=9有公共点，
∴圆心到直线的距离d≤3，即

16

k2+16

≤3，
解得：k≥

4 7

3

或k≤-

4 7

3

，
则k的范围为（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）．
故答案为：（-∞，-

4 7

3

]∪[

4 7

3

，+∞）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及不等式的解法，解题的关键是将条件化为“直线kx-4y+16=0与圆C′：x²+y²=9有公共点”．