Question

某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30%，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.

(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a₁=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a₂,经过n年绿洲面积为a_n+1,求证：a_n+1=a_n+；

(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%？

Answer 1

约经过6年的努力，绿洲面积可超过60%.

解析:

(1)设1999年底沙漠面积为b₁,经过n年沙漠面积为b_n+1,则a₁+b₁=1且a_n+b_n=1.

因为绿洲面积a_n+1由两部分组成，一部分是原有绿洲面积a_n减去被侵蚀掉的面积a_n-a_n=a_n;另一部分是新绿洲面积b_n,

∴a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n),

即a_n+1=a_n+.

(2)∵a_n+1-=(a_n-),

∴{a_n-}是公比为的等比数列.

∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=-×()^n-1.

∴a_n=-×()^n-1.

令a_n≤60%＜a_n+1，即-×()^n-1≤＜-×()ⁿ,

得()ⁿ＜≤()^n-1,

两边取对数得nlg＜lg≤(n-1)·lg,

则＜n≤+1,=≈4.1.

∴4.1＜n≤5.1.