Question

【题目】在平面直角坐标系中，、分别为椭圆的左、右焦点.设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点、，焦点到直线的距离为.若直线、、的斜率依次成等差数列，求的取值范围.

Answer 1

【答案】

【解析】

设直线，点，，联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理，根据直线、、的斜率依次成等差数列得到，代入得，

求出d=,再求函数d(k)的取值范围得解.

由条件，知点、.

设直线，点，.

则、满足，即

. ①

由于点与不重合，且直线的斜率存在，故、为方程①的两个不同实根.

因此，式①的判别式

. ②

由直线、、的斜率、、依次成等差数列，知

.

假设.则直线的方程为，即经过点，不符合条件.

因此，.

故由方程①及韦达定理知

. ③

由式②、③知

.

反之，当、满足式③及时，直线必不过点（否则，将导致，与式③矛盾）.

而此时、满足式②，故直线与椭圆有两个不同的交点、，同时，也保证了、的斜率存在（否则，、中的某一个为，结合，知，与方程①有两个不同的实根矛盾）.

又点到的距离为

. ④

注意到，.

令.则.

故式④可改写为

. ⑤

考虑到函数在区间上单调递减，故由式⑤得

.