Question

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点B(0,1)、且点A(a,0)(a≠0)是x轴上的动点,过点A作线段AB的垂线交y轴于点D,在直线AD上取点P,使AP=DA.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)点Q是直线y=-1上的一个动点,过点Q作轨迹C的两条切线,切点分别为M、N,求证:QM⊥QN.

Answer 1

(1)解:设P(x,y)、D(0,m),

则由k_AB=,∴=.∴m=-a².则

当a≠0时,a=,代入得y=x².

a=0时,也符合上式.

∴P点轨迹C的方程为x²=4y.

(2)证明:设Q点坐标为(n,-1),过Q与C相切的直线为y+1=k(x-n),

x²=4kx-4kn-4,即x²-4kx+4kn+4=0.

Δ=16k²-4(4kn+4)=16k²-16kn-16=0.

∴k²-nk-1=0.∴k₁k₂=-1,即QM⊥QN成立.