Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

4

+y2=1的两个焦点，P为椭圆C在第一象限上的一点，且

PF1

⊥

PF2

．则P到x=

5 3

3

的距离为

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程算出它的焦点为F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）．设P（m，n），可得

PF1

、

PF2

的坐标，从而将

PF1

⊥

PF2

转化为

PF1

•

PF2

=0，得到关于m、n的一个方程，结合点P在椭圆上联解得到m、n的值，进而得到P的坐标，即可算出点P到x=

5 3

3

的距离．

解答：解：∵椭圆C：

x2

4

+y2=1中，a²=4且b²=1，
∴c=

a2-b2

=

3

，可得焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．
设P的坐标为（m，n），可得

PF1

=（-

3

-m，-n），

PF2

=（

3

-m，-n）．
∵

PF1

⊥

PF2

，∴

PF1

•

PF2

=（-

3

-m）（

3

-m）+n²=0，即m²+n²=3，…①
又∵点P在椭圆C上，∴

m2

4

+n2=1，…②
联解①②，得m=

2 3

3

、n=

3

3

（舍负），可得P的坐标为（

2 3

3

，

3

3

）．
因此点P到x=

5 3

3

的距离为|

5 3

3

-

2 3

3

|=

3

．
故答案为：

3

点评：本题给出椭圆上的点P对两个焦点的张角等于90度，求P到已知直线的距离．着重考查了向量的数量积及其运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题．