Question

【题目】正四棱柱，中，，E为中点，F为AD中点．

（1）证明：平面；

（2）若直线AC与平面所成的角为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）法1：以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由，证出，再由线面平行的判定定理即可证出；法2：连接交于O，连接EO，OF，证出，且，从而证出，再利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）由，，利用即可求解.

（1）法1：以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

设，则，，，

，，，

故，，，

设平面的法向量

，不妨取，得平面的一个法向量，

，，

又平面，所以平面．

法2：连接交于O，则O为中点．

连接EO，OF．

因为正四棱柱，

所以，且，又因为E为中点，

∴，且．

中，O，F为中点，

∴，且，

∴，且．

∴为平行四边形，∴，

又平面，平面，所以平面．

（2），则．

直线AC与平面AED，所成的角为，

即，

解得，即的长为．