Question

已知函数f （x）=．
（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f （x）在区间（0，+∞）上，证明如下：
∵f（x）=，
∴当x＞0时，f（x）=
∵上是减函数
∴f （x）在区间（0，+∞）上是增函数．（4分）
（2）原方程即：=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．（5分）
②当x＜0且x≠-2时方程①有解，则=kx²即kx²+2kx+1=0
当k=0时，方程kx²+2kx+1=0无解；
当k≠0时，△=4k²-4k≥0即k＜0或k≥1时，方程kx²+2kx+1=0有解．
设方程kx²+2kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-2，x₁x₂=．
当k＞1时，方程kx²+2kx+1=0有两个不等的负根；
当k=1时，方程kx²+2kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+2kx+1=0有一个负根（8分）
③当x＞0时，方程①有解，则=kx²，kx²+2kx-1=0
当k=0时，方程kx²+2kx-1=0无解；
当k≠0时，，△=4k²+4k≥0即k＞0或k≤-1时，方程kx²+2kx-1=0有解．
设方程kx²+2kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-2，x₃x₄=-
∴当k＞0时，方程kx²+2kx-1=0有一个正根，
当k≤-1时，方程kx²+2kx+1=0没有正根．（11分）．
综上可得，当k∈（1，+∞）时，方程f （x）=kx²有四个不同的实数解．（13分）．
分析：（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明，先去绝对值号对函数表达式化简，根据其形式判断出函数的性质，再进行证明
（2）方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，代入函数表达式，进行探究，由于方程带有绝对值，故需要分类去绝对值，在每一类中找出满足方程有两解的参数的值，合并既得．
点评：本题第一问考查单调性的判断，题目较易，第二问由方程有四个解来求参数的范围，本题对思维的严密性要求很高，需要熟练运用分类讨论的思想，因为题目中有太多的不确定性，本题难度较大．