Question

求“方程（

3

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）^x+（

4

5

）^x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（

3

5

）^x+（

4

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）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，类比上述解题思路，方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10的所有实数解之和为

1

．

Answer 1

分析：方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10等价为x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）．类比“方程（

3

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）^x+（

4

5

）^x=1，求“方程的解的解题思路，设f（x）=x³+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x²=x+2，解之即得方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集．

解答：解：∵方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10等价为x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）．
∴设f（x）=x³+x，
则函数f（x）在R上单调递增，
由x⁶+x²=（x+2）³+（x+2），
即（x²）³+x²=（x+2）³+（x+2），
∴x²=x+2，
解得，x=-1或x=2．
∴方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集为{-1，2}．
∴-1+2=1．
故答案为：1

点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力．