Question

已知正项数列的前项和，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当时，总有．请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）（）．                         
（Ⅱ）．                                              
（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

（Ⅰ）时，或．
由于是正项数列，所以．
当时，
，                               
整理，得．
由于是正项数列，∴．
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．      
从而，当时也满足．
∴（）．                         
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
对于上的凹函数，有．
根据定理，得．　　　　　　　　　　　
整理，得．
令，得．          
∴，即．
∴．                                              
（Ⅲ）由（Ⅱ），得．