Question

(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示，,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,在线段上且=.
(I)证明:平面⊥平面；
(II)求二面角的余弦值.

Answer 1

(I)见解析(II)

方法一 ：由三视图可知几何体是底面以为直角，侧棱垂直底面的三棱台,      ---------2分


(I)证明 ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴A₁A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.
∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁. --------7分
(II)解 如图①,作AE⊥C₁C交C₁C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,
∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影.
由三垂线定理知BE⊥CC₁,
∴∠AEB为二面角A—CC₁—B的平面角. 图①
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点,
则CF=AC-AF=1,
C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,              
即二面角A—CC₁—B余弦值为  -------12分
方法二 (I) 证明 如图②,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A₁(0,0,),C₁(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D点坐标为,
∴=, =(-,2,0),=(0,0,).
∵·=0，·=0，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.
(II)解 ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)为平面ACC₁A₁的法向量.
设平面BCC₁B₁的法向量为n=(x,y,z),
则·n=0，·n=0，
∴
∴x=y，z=，可取y=1，则n=，
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC₁—B的余弦值为.