Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=，D、E分别为BB₁、AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，证明，，即可证明AC⊥平面BDE；
（2）确定平面AC₁D的一个法向量、平面AA₁D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A₁-AD-C₁的大小．
解答：（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，C（0，1，0），，，
∴，，
∴，
即，，而BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：设平面AC₁D的一个法向量是，
则由，∴
令x=1，则，
又平面AA₁D的一个法向量是，
∴
∴，
由图可知二面角为锐角，故A₁-AD-C₁的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．