Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)证明PA⊥平面ABCD；

(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；

(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.

Answer 1

思路解析：本小题主要考查了棱锥、直线与平面垂直的判定与性质，二面角及二面角的平面角、直线与平面平行的判定和性质，同时考查了利用空间向量解决立体几何问题的转换能力、一定的计算能力以及逻辑推理能力.

    第(3)问在设问上有一定的开放性，这对空间观念的要求，对空间图形转换要求，在水平层次上就有较大的提高，切入点是从特殊点开始进行探究.

    此题可用空间向量法解决，关键是能合理地构建空间坐标系.

    总之，本题在解决方法上利用向量手段解决几何问题，很好地体现了数学的和谐美.同时，空间向量在立体几何中的应用为考生创造了几何证明的新思路，体现了解决问题策略的多样化.另外，本题通过开放性问题的设计，给学生留出了较大的思维空间，为学生灵活运用所学知识解决问题建立了一个平台.

(1)证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

(2)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH.

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1，所以EG=a,AG=a,EH=AGsin60°=a.

从而tanθ==,θ=30°.

(3)证明：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：

取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.          ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.所以BM∥OE.   ②

由①②知，平面BFM∥平面AEC.