Question

【题目】已知

(1)求的最小值以及取得最小值时的值.

(2)若方程在上有两个根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将函数变形后，利用基本不等式求解最小值及取等号时x的值.

（2）利用（1）所得结论，结合函数在区间单调性和取值范围，可得k的取值范围为（，3].

（1） ，已知，则x-1>0, ,

故，

当且仅当时等号成立，解得x= ，

即的最小值是，取得最小值时=.

(2)由（1）知，f（x）在上最小值为，取最小值时x=，

根据函数单调性定义，设1<x1<x2<,

f(x1)-f（x2）= ，

由0<x1-1<x2-1<知, 0<<2,则，则f(x1)-f（x2）>0,

即f（x）在上单调减函数，同理可得f（x）在上单调增函数，

易得f（3）=3，且f（x）=3，可解得x=2或x=3，且x=2 ，

结合函数的单调性，故方程在上有两个根，则k的取值范围为（，3].