Question

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．
（1）求两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量

AC1

，

D1E

的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．
（2）设出平面BED₁F的一个法向量为

n

，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED₁F的法向量为

n

的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．

解答：解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：

则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴

AC1

=（-3，3，3），

D1E

=（3，0，-1）
∴cosθ=

AC1 • D1E

| AC1 |•| D1E |

=

-9-3

3 3 × 10

=-

2 30

15

则两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值为

2 30

15

（2）B（3，3，0），

.

BE

=（0，-3，2），

D1E

=（3，0，-1）
设平面BED₁F的一个法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • D1E =0 n • BE =0

得

3x-z=0 -3y+2z=0

令x=1，则

n

=（1，2，3）
则直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值为
|

AC1 • n

| AC1 |•| n |

|=|

-3+6+9

3 3 × 14

|=

2 42

21

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．