Question

已知函数f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值
（2）求y=f（x）的单调区间和极值
（3）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．

Answer 1

分析：（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．
（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．
（3）由（2）知，当a=1时，函数f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是单调减函数，且f(1)=

ln1+1

1

=1，从而证得结论．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
所以f′(x)=

1-lnx-a

x 2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，
所以f'（1）=1-a=1，即a=0．
（2）令f'（x）=0，得x=e^1-a．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e^1-a），单调递减区间是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1．
（3）由（2）知，当a=1时，函数f(x)=

lnx+1

x

在[1，+∞）上是单调减函数，
且f(1)=

ln1+1

1

=1，
∴x≥1时，f（x）≤f（1）=1．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．