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    点P是椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1外的任意一点，过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点．
    （1）若点P的坐标为（1，2），求直线AB的方程．
    （2）设椭圆的左焦点为F，请问：当点P运动时，∠PFA与∠PFB是否总是相等？若是，请给出证明．
    分析：（1）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用导数可求得过点A的切线方程为
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，由点P在切线上可得
    x1
    4
    +
    2y1
    3
    =1    ，同理，
    x2
    4
    +
    2y2
    3
    =1    ，由此可得AB方程；
    （2）设点P的坐标为（m，n），由（1）知，
    mx1
    4
    +
    ny1
    3
    =1    ，问题转化为向量的夹角相等，利用向量夹角公式可得结论；
    解答：解：（1）设点A的坐标为（x1，y1），
    当y≥0时，由
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1得，y=
    		3(1-
    x2
    4
    )
    ，
    则过点A的切线斜率k=y′|x=x1=
    -
    3
    2
    x1
    2
    		3(1-
    x12
    4
    )
    =-
    3x1
    4y1
    ，过点A的切线方程为：y-y1=
    -3x1
    4y1
    (x-x1)    ，
    又
    x12
    4
    +
    y12
    3
    =1    ，则切线方程可整理为：
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，
    当y＜0时，同理可得切线方程为：
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，
    综上，过点A的切线方程为：
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，
    ∵点P（1，2）在切线上，∴
    x1
    4
    +
    2y1
    3
    =1    ①，
    设点B的坐标为（x2，y2），同理可得，
    x2
    4
    +
    2y2
    3
    =1    ②，
    故由①②可得直线AB的方程为
    x
    4
    +
    2y
    3
    =1    ；
    （2）当点P运动时，∠PFA与∠PFB总是相等的，
    F（-1，0），设点P的坐标为（m，n），
    则由（1）知，
    mx1
    4
    +
    ny1
    3
    =1    ，∴ny1=3(1-
    mx1
    4
    )    ，
    ∵|AF|=2+
    1
    2
    x1    ，
    FA
    •
    FP
    =（x1+1，y1）•（m+1，n）
    =（m+1）（x1+1）+ny1=（m+1）（x1+1）+3（1-
    mx1
    4
    ）
    =
    (m+4)(x1+4)
    4
    ，
    ∴cos∠PFA=
    1
    4
    (m+4)(x1+4)
    (2+
    1
    2
    x1)•|
    FP
    |
    =
    m+4
    2|
    FP
    |
    ，
    同理，cos∠PFB=
    m+4
    2|
    FP
    |
    ，
    ∴cos∠PFA=cos∠PFB，
    ∴∠PFA=∠PFB．
    点评：本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设圆C1：x2+y2-10x-6y+32=0，动圆C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
    （Ⅰ）求证：圆C1、圆C2相交于两个定点；
    （Ⅱ）设点P是椭圆
    x24
    +y2=1    上的点，过点P作圆C1的一条切线，切点为T1，过点P作圆C2的一条切线，切点为T2，问：是否存在点P，使无穷多个圆C2，满足PT1=PT2？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
    A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
    B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
    （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
    （2）求逆矩阵M-1以及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1    在M-1的作用下的新曲线的方程．
    C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4
    		2
    ρcos(θ-
    π
    4
    )+6=0    ．
    （Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
    （Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
    D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法中
    ①设定点F1（0，-3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆或线段；
    ②命题“每个指数函数都是单调函数”是全称命题，而且是真命题．
    ③离心率为
    1
    2
    ，长轴长为8的椭圆标准方程为
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ；
    ④若3＜k＜4，则二次曲线
    x2
    4-k
    +
    y2
    3-k
    =1    的焦点坐标是（±1，0）．
    其中正确的为
    ②④
    ②④
    （写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    以下各个关于圆锥曲线的命题中
    ①设定点F1（0，-3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆或线段；
    ②过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条；
    ③离心率为
    1
    2
    ，长轴长为8的椭圆标准方程为
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ；
    ④若3＜k＜4，则二次曲线
    x2
    4-k
    +
    y2
    3-k
    =1    的焦点坐标是（±1，0）．
    其中真命题的序号为
    ②④
    ②④
    （写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•重庆一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1d的右焦点，点A、B为抛物线上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
    （I）求抛物线的标准方程；
    （Ⅱ）求证：直线AB过定点M（4，0）；
    （III）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的最小值．

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