Question

求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
（2）顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．

Answer 1

分析：（1）根据顶点在原点，对称轴为y轴，可设抛物线方程为：x²=±2py，利用顶点到准线的距离为4，即可求得抛物线方程．
（2）双曲线方程化为标准方程，确定抛物线的顶点与焦点，即可得到结论．

解答：解　（1）由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为

p

2

，
故

p

2

=4，p=8．
因此，所求抛物线的标准方程为y²=±16x或x²=±16y．
（2）双曲线方程16x²-9y²=144化为标准形式为

x2

9

-

y2

16

=1，
中心为原点，左顶点为（-3，0），
故抛物线顶点在原点，准线为x=-3．
由题意可设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），
可得

p

2

=3，
故p=6．
因此，所求抛物线的标准方程为y²=12x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查双曲线、抛物线的几何性质，考查学生的计算能力．解题的关键是定型与定量，属于基础题．