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    如图F1（-c，0），F2（c，0）为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点．
    （1）当c=1时，求双曲线E的方程；
    （2）试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；
    （3）连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数λ，使
    F1A
    =λ
    AM
    恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由c=1，知B（0，1），H(0，
    1
    2
    )，M(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，由此能求出双曲线E的方程．
    （2）由F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，
    c
    2
    )，M(
    		3
    c
    2
    ，
    c
    2
    )    ，能够证明对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数e=
    		2
    ．
    （3）设存在常数λ，使
    F1A
    =λ
    AM
    恒成立    ，所以F1(-c，0)，M(
    		3
    c
    2
    ，
    c
    2
    )    ，
    A(
    (
    		3
    λ-2)c
    2(1+λ)
    ，
    λc
    2(1+λ)
    )，A在E上，则
    (
    		3
    λ-2)    2    c2
    4(1+λ)2a2
    -
    λ2c2
    4(1+λ)2b2
    =1    ，由e=
    		2
    ，则
    c
    a
    =
    c
    b
    =
    		2
    ，知λ=
    		3
    -1
    4
    ．
    解答：解：（1）由c=1有B（0，1），H(0，
    1
    2
    )，M(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，
    设E：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)，M在E上    ，则
    a2+b2=1
    3
    4a2
    -
    1
    4b2
    =1
    解得
    a2=
    1
    2
    b2=
    1
    2
    ，
    ∴当c=1时，双曲线E的方程E：2x2-2y2=1
    （2）F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，
    c
    2
    )，M(
    		3
    c
    2
    ，
    c
    2
    )
    设E：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)，
    a2+b2=c2
    3c2
    4a2
    -
    c2
    4b2
    =1
    ，即3e4-8e2+4=1    ，
    e2=2或e2=
    2
    3
    (舍)    ，
    ∴e=
    		2
    为常数    （8分）
    （3）设存在常数λ，
    使
    F1A
    =λ
    AM
    恒成立    ，
    ∴F1(-c，0)，M(
    		3
    c
    2
    ，
    c
    2
    )    ，
    有A(
    (
    		3
    λ-2)c
    2(1+λ)
    ，
    λc
    2(1+λ)
    )，A在E上，则
    (
    		3
    λ-2)    2    c2
    4(1+λ)2a2
    -
    λ2c2
    4(1+λ)2b2
    =1    ，
    ∵e=
    		2
    ，
    则
    c
    a
    =
    c
    b
    =
    		2
    ，
    ∴λ=
    		3
    -1
    4

    ∴存在常数λ=
    		3
    -1
    4
    使
    F1A
    =λ
    AM
    恒成立    （12分）
    点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的顶点为A1、A2、B1、B2，焦点为F1，
    F2，|A1B1|=
    		7
    ，
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    （2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求
    AP
    •
    PB
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    (1)当c＝1时，求双曲线E的方程；(4分)

    (2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；(4分)

    (3)连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．(5分)

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    (1)当c＝1时，求双曲线E的方程；

    (2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；

    (3)连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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    (1)当c＝1时，求双曲线E的方程；

    (2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数．

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