Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω： 的离心率为 ，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．

（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1 ， k2
①求证：k1k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题知b=1，由 ，
所以a2=2，b2=1．
故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）①证法一：设B（x0 ， y0）（y0＞0），则 ，
因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0 ， ﹣y0），
所以 ．
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，
由 得 ，
解得 ，同理 ，
因为B，O，C三点共线，则由 ，
整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，
所以 ．
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，
令y=2，得 ，
而 ，
所以，△CEF的面积 =
= ．
由 得 ，
则S△CEF= ，当且仅当 取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为
【解析】（Ⅰ）由题知b=1，由 ，b=1，联立解出即可得出．（Ⅱ）①证法一：设B（x0 ， y0）（y0＞0），则 ，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0 ， ﹣y0），利用斜率计算公式即可得出．证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出．②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得 ，可得△CEF的面积 ．