Question

定义域和值域均为[-a，a]（常数a＞0）的函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图所示：
现有以下命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；
（3）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解；
（4）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解．
则其中正确的命题是（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：通过f（x）=0有三个解，g（x）=0有一个解，具体分析（1），（2），（3），（4）推出正确结论．

解答：解：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解，等价于g（x）在[-a，a]上有三个不同值，
由于y=g（x）在[-a，a]上是减函数，所以方程f[g（x）]=0有且仅有三个解，故（1）正确；
（2）由于y=g（x）在[-a，a]上是减函数，f（x）=0有3个解，当f（x）∈（0，a）时，
方程g[f（x）]=0可能有一个解，可能有2个解，可能有3个解，故（2）不正确；
（3）由于y=g（x）在[-a，a]上是减函数，故当g（x）∈[-a，a]时，方程g[g（x）]=0有且仅有一个解．
故（3）正确．
（4）由于f（x）=0有3个解为：x₁＜x₂＜0＜x₃，若f（x）＜0，则方程f[f（x）]=0可得，f（x）=x₁，
或f（x）=x₂，而由f（x）的图象可得，满足f（x）=x₁ 的解有3个，满足f（x）=x₂的解也有3个．
若f（x）＞0，则有 f（x）=x₃，而由f（x）的图象可得，满足f（x）=x₃ 的解可能有1个、2个、或3个，
故方程f[f（x）]=0的解有7个、8个、或9个，由此可得（4）不正确；
故选C．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力及识别图象的能力，是基础题．