Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）设（1）中的椭圆C与直线y=kx+1相交于P、Q两点，求

OP

•

OQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知榀得a²=b²+1，且2b²=a²+1，进而求出a²=3，b²=2，
（2）将y=kx+1代入椭圆方程消掉y可得关于x的二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理可把

OP

•

OQ

表示为k的函数，根据基本函数的性质可求得

OP

•

OQ

的取值范围；

解答：解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，
∴a²=b²+1，
又∵a²，b²，c²成等差数列，
∴2b²=a²+1，
解得a²=3，b²=2，
所以椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1…（4分）
（2）将y=kx+1代入

x2

3

+

y2

2

=1得，

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1
即化简得，（3k²+2）x²+6kx-3=0，△＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

，…（6分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

…（8分），
由k²≥0，得3k²+2≥2，0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，
∴-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

，
∴

OP

•

OQ

的取值范围是（-2，-

1

2

]…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算、椭圆方程的求解，考查椭圆中的不等式，考查学生分析问题解决问题的能力．