Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-16n-6，求数列{|a_n|}的前n项和S_n′=

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知，当n≤8时，|a_n|中第一项是21，第二项起是以13为首项，-2为公差的等差数列，由此可求出当n≤8时S_n′的表达式．当n≥9时，此时|a_n|的前8项之和S8′=21+

7

2

(13+1)=70，|a_n|的后n-8项是以1为首项，2为公差的等差数列，由此可求出当n≥9时S_n′的表达式．

解答：解：∵S_n=n²-16n-6，∴S_n-1=（n-1）²-16（n-1）-6，a₁=S₁=-21，
a_n=S_n-S_n-1=2n-17，当n=1时，2n-17=-15≠a₁，∴an=

-21，n=1 2n-17，n≥2

．
由2n-17≥0得n≥

17

2

．∴当n≤8时，|a_n|=-a_n=

21，n=1 17-2n，2≤n≤8

，可算出当n=8时，S8′=21+

7

2

(13+1)=70，当n≤8时，|a_n|中第一项是21，第二项起是以13为首项，-2为公差的等差数列，∴Sn′=21+13(n-1)+

(n-1)(n-2)

2

×(-2)=--n²+16n+6．
当n≥9时，此时|a_n|的前8项之和已得出为70，|a_n|的后n-8项是以1为首项，2为公差的等差数列，后n-8项的和为Tn=(n-8)×1+

(n-8)(n-9)

2

×2=n²-16n+64，∴S_n′=S₈′+T_n=n²-16n+134．
∴S_n′=

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．
故答案为：

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．