Question

【题目】对于函数与，若存在实数满足，且，则称为的一个点.

(1)证明：函数与不存在的点；

(2)若函数与存在的点，求的范围；

(3)已知函数，证明：存在正实数，对于区间内任意一个皆是函数的点.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）通过证明证得命题成立.（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最小值，由此证得在上恒成立.然后分成两种情况讨论，由此求得的取值范围.（3）取，利用导数证明所取正实数符合题意.

（1）证明：因为恒成立，

所以，不存在实数满足，

故不存在的点

（2）构造函数F（x）＝＝，

函数F（x）的定义域为（0，＋∞），

＝0，得：x＝1，

x	(0，1)	1	(1，＋∞)
	－	0	＋
F（x）	↘		↗

x＝1是F（x）的唯一极小值点，也是最小值点，

所以，F（x）min＝F（1）＝0，即F（x）≥0恒成立，

所以，在定义域（0，＋∞）内，x0－1≥lnx0恒成立，

当x0≥1时，｜x0－1｜＝x0－1，｜lnx0｜＝lnx0，

因为x0－1≥lnx0恒成立，所以，｜x0－1｜≥｜lnx0｜恒成立，为的一个点.

当0＜x0＜1时，｜x0－1｜＝－（x0－1），｜lnx0｜＝－lnx0，

由x0－1≥lnx0，得：－（x0－1）≤－lnx0，即｜x0－1｜≤｜lnx0｜，此时不是的一个点.

所以，的取值范围为［1，＋∞）.

(3)证明：取，因为，所以，下面证明所取正实数符合题意.当时，，有，且显然成了又因为当时，有，所以 .故当时，即恒成立，即存在正实数，对于区间内任一个皆是函数的点.