Question

（本题满分12分）已知函数，x∈R．

（1）当m =－1时，求函数y = f (x) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；

（2）设f ′(x) 是函数y = f (x) 的导数，当函数y = f ′(x) 的图象在（－1，5）上与x轴有唯一的公共点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

解 （1）当m =－1时，，

∴ f ′(x) = 2x² + 2x－12 = 2（x + 3）（x－2）的两个根为x =－3 或 x = 2，

只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又 ，，．          …………………… 4分

x	－1	（－1，2）	2	（2，5）	5
f ′(x)		－	0	+
f（x）			极值点

故函数y = f（x）在 [－1，5 ] 上的最大值为，最小值为．

…………………… 6分

（2）由已知有 f ′(x) = 2x²－2（2m + 1）x－6m（m－1），x∈R．

函数y = f ′(x) 的图象与x轴的公共点的横坐标就是二次方程

        x²－（2m + 1）x－3m（m－1）= 0 的实数根，解得 x₁ = 3m，x₂ = 1－m．

① 当x₁ = x₂ 时，有 3m = 1－m  Þ ，此时x₁ = x₂ =∈（－1，5）为所求．

…………………… 8分

② 当x₁≠x₂ 时，令H（x）= x²－（2m + 1）x－3m（m－1），则函数y = f ′(x) 的图象在（－1，5）上与x轴有唯一的公共点  Þ  H（－1）· H（5）≤0，而 H（－1）=－3m² + 5m + 2，H（5）=－3m²－7m + 20，                                …………………… 9分

所以（－3m² + 5m + 2）（－3m²－7m + 20）≤0，

即（m－2）（3m + 1）（m + 4）（3m－5）≤0，

解得 －4≤m≤ 或 ≤m≤2．                                     …………………… 10分

经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．

综上所述，实数m的取值范围是或－4＜m≤或≤m＜2．

…………………… 12分