Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(Ⅰ)求证：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

方法一：

(Ⅰ)证明：连结OC

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

    在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=,而AC=2，

∴AO²+CO²=AC²,

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O.

∴AD⊥平面BCD.

(Ⅱ)解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中，

EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，

∴OM=AC=1,

∴cos∠OEM=,

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(Ⅲ)解：设点E到平面ACD的距离为h.

∵V_E—ACD=V_A—CDE，

∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE

    在△ACD中，CA=CD=2，AD=，

∴S_△ACM=××=.

    而AO=1，S_△CDE=××2²=，

∴h=.

∴点E到平面ACD的距离为.

方法二：

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，)，A(0，0，1)，E(，，0)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0).

∴cos〈,〉==，

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(Ⅲ)解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则

∴

    令y=1,得=(-,1,)是平面ACD的一个法向量

    又=(-,,0),

∴点E到平面ACD的距离h==.