Question

设函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin2(x+

π

2

)
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，求f（x）的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为

3

sin(2x+

π

3

)+1，由此求得函数的最小正周期以及对称轴方程．
（2 ）由 x∈[-

π

3

，

π

4

]，可得 -

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，故当2x+

π

3

=

π

2

时，sin(2x+

π

3

)=1，由此求得求f（x）的最大值及相应的x的值．

解答：解：（1）f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin2(x+

π

2

)=cos（2x-

π

3

）+2×

1-cos(2x+π)

2

=cos（2x-

π

3

）+cos2x+1=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=

3

sin(2x+

π

3

)+1．…（3分）
故函数的最小正周期T=π…（4分）
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)得对称轴方程x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z． …（6分）
（2 ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，故当2x+

π

3

=

π

2

时，sin(2x+

π

3

)=1，
此时x=

π

12

，f（x）有最大值

3

+1．…（6分）

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，以及周期性和对称性，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．