Question

如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP两两互相垂直，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出AP长度，则可得到图中各点坐标，求出向量，由它们的数量积等于0证得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的长度，分别求出平面AMB和平面AMN的一个法向量，利用两个平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．
解答：（1）证明：因为底面是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如图，
分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=t
则
得，．
∴=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由，得，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一个法向量为
设平面AMN的法向量，又，
由得：，取y=-2，得x=1，z=．
所以平面AMN的一个法向量是，
设二面角N-AM-B为α，则=．
所以二面角N-AM-B的余弦值为．
点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，利用空间向量求二面角的大小时，关键是分清两个平面的法向量所成的角与二面角的关系，此题是中档题．