Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

 （Ⅰ）求点P的轨迹C；

 （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线

（Ⅱ）线段MN长度的最大值为

解析:

（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳

由题设当x>2时，由①得

  化简得 

当时  由①得

  化简得                        

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），

B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.

当点P在上时，由②知

.                 ④

当点P在上时，由③知

                   ⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为

（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知

∣MF∣= 6 -     ∣NF∣= 6 -

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -

因为当

     

当且仅当时，等号成立。

（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，

   设直线AF与椭圆的另一交点为E

      

   所以。而点A，E都在上，且

   有（1）知

若直线的斜率不存在，则==3，此时

综上所述，线段MN长度的最大值为