Question

设f(x)=

1+ax

1-ax

a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设关于x的方程求loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（Ⅲ）当0＜a≤

1

2

时，试比较|

n

k=1

f(k)-n|与4的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x），loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e求出

n

k=2

g(k)，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（Ⅲ）利用放缩法，求出|

n

k=1

f(k)-n|的取值范围，最后推出小于4即可．

解答：解：（1）由题意，得a^x=

y-1

y+1

＞0
故g（x）=loga

x-1

x+1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
由loga

t

(x2-1)(7-x)

=loga

x-1

x+1

得t=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]
则t′=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t'		+		-
t	5	递增	极大值32	递减	25

所以t_最小值=5，t_最大值=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分）

（Ⅱ）

n

k=2

g(k)=ln

1

3

+ln

2

4

+ln

3

5

++ln

n-1

n+1

=ln（

1

3

×

2

4

×

3

5

××

n-1

n+1

）
=-ln

n(n+1)

2

令u（z）=-lnz²-

1-z2

z

=-2lnz+z-

1

z

，z＞0
则u′（z）=-

2

z

+1+

1

z2

=（1-

1

z

）²≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为

n(n+1) 2

＞1＞0，所以u（

n(n+1) 2

）＞u（1）=0
即ln

2

n(n+1)

-

1- n(n+1) 2

n(n+1) 2

＞0
即

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

（9分）

（3）设a=

1

1+p

，则p≥1，1＜f（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3，
当n=1时，|f（1）-1|=

2

p

≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N^*时，则f（k）=

(1+p)k+1

(1+p)k-1

=1+

2

(1+p)k-1

，
=1+

2

C 1 k p+ C 2 k p2++ C k k pk

所以1＜f（k）≤1+

2

C 1 k + C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，
从而n-1＜

n

k=2

f(k)≤n-1+

4

2

-

4

n+1

=n+1-

4

n+1

＜n+1，
所以n＜

n

k=1

f(k)＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|

n

k=1

f(k)-n|＜4．

点评：本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．