Question

已知两点M（-1，0）、N（1，0），动点P（x，y）满足|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）假设P₁、P₂是轨迹C上的两个不同点，F（1，0），λ∈R，

FP1

=λ

FP2

，求证：

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=1．

Answer 1

分析：（1）由|

MN

|=2，知

MP

=(x+1，y)，

NP

=(x-1，y)．由|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，得2

(x-1)2+y2

-2(x+1)=0，由此能导出点P的轨迹C的方程．
（2）由

FP1

=λ•

FP2

，得F、P₁、P₂三点共线，设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，所以

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+(x1+x2)+1

=1．

解答：解 （1）|

MN

|=2；则

MP

=(x+1，y)，

NP

=(x-1，y)
由|

MN

|•|

NP

|-

MN

•

MP

=0，则2

(x-1)2+y2

-2(x+1)=0，
化简整理得y²=4x
（2）由

FP1

=λ•

FP2

，得F、P₁、P₂三点共线，
设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）
代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0则x₁•x₂=1，x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+(x1+x2)+1

=1
当P₁P₂垂直x轴时，结论照样成立．

点评：本题考查点P的轨迹C的方程，求证

1

|FP1|

+

1

|FP2|

=1；解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．