Question

已知四边形为菱形,,两个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等,点分别在上,且.

 (Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求平面与底面所成锐二面角的平面角的正切值;

(Ⅲ)求多面体的体积.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)  (Ⅲ)

解析:

(Ⅰ)取中点，连、，则

面，  

又

     ……………3分

(Ⅱ)设在底面的射影分别为,则

由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等,

故∥,且=,∴四边形为平行四边形,

∴∥,又分别为△,△的中心,

∴在菱形的对角线上,

∴∥,即∥平面…………………………………5分

设平面与平面的交线为,取中点连结,

由

∴为平面与平面所成二面角的平面角

…………………………7分

在△中, ,

∴，

∴……………………………9分

(Ⅲ设、在和上的射影为，则均在直线上，且为平行四边形，。

为四棱锥                       

设，则，又，由（1）知

即

面，，又面。

设四棱锥的高为，且    

  在中，

F

         

                   ……………13分