Question

长春市某中学高三（1）班40名学生在一次数学测验中，成绩全部介于100分与150分之间，将测验成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110）；第二组[110，120），…，第五组[140，150]．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（I）若成绩在130分以上为优秀，求该班在这次测验中成绩优秀的人数；
（II）估计该班在这次测验中的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）该班有3名学生因故未参加考试，如果他们参加考试，且彼此之间的成绩不受影响，以已知样本数据的频率作为这3名同学成绩的概率．试求这3名学生中至少有1人成绩不低于130分的概率．

Answer 1

解：（I）由直方图知，成绩在[130，150]内的人数为：40×0.2+40×0.1=12 （人）
所以该班成绩优秀的人数为12人．
（II）设该班在这次测验中的平均分为，
则=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1=125.5（分）．
（III）每1名学生成绩不低于130的概率为 p=0.2+0.1=0.3．
设这3名学生中至少有1人成绩不低于130分为事件A，其对立事件为：这3名学生成绩全部低于130分，
P（A）=1-C₃⁰×0.7³=1-0.343=0.657．
分析：（I）由直方图知，成绩在[130，150]内的人数为：40×0.2+40×0.1，运算求得结果．
（II）设该班在这次测验中的平均分为，则=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1，运算求得结果．
（III）每1名学生成绩不低于130的概率为 p=0.3，这3名学生中至少有1人成绩不低于130分的概率为1-C₃⁰×0.7³=，
运算求得结果．
点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，
得到每1名学生成绩不低于130的概率为 p=0.3，是解题的关键．