Question

（2007•南京二模）将直线y=-5x+15绕着它与x轴的交点按逆时针方向旋转α角后，恰好与圆（x+2）²+（y+1）²=13相切，则α的一个值是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：令直线y=-5x+15中y=0，求出x的值，确定出直线与x轴的交点坐标，设出切线的斜率为k，表示出切线的方程，再根据圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，根据点到直线的距离表示出圆心到切线的距离d，使d等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，取k的一个值，代入到角公式即可求出tanα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到α的度数．

解答：解：因为直线与x轴的交点为（3，0），
所以设切线方程为y=k（x-3），又已知圆的圆心（-2，-1），半径为

13

，
由圆心到直线的距离等于半径可知

|5k-1|

1+k2

=

13

，
解得k=-

2

3

，和k=

3

2

，
由题设可知应取k=-

2

3

，
由到角公式知tanα=

- 2 3 + 5

1+ 10 3

=1，
则旋转角α的一个值为45°．
故选B

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，圆的标准方程，以及到角公式的运用，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．