Question

（2012•浙江模拟）已知各项均为非负实数的数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求证：数列{

bn

}是等差数列；
（II） 设Sn=

1

a2

+

1

a3

+…

1

an

，Tn=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

，当n≥2，n∈N时，试比较

7

5

Sn与T_n的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bn•bn+1，故an+1=

bnbn+1

，所以2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

，由此能够证明{

bn

}是等差数列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{

bn

}是等差数列，得bn=n2，由此入手能够证明

7

5

Sn＜T_n．

解答：解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
∴an+12=bn•bn+1，②
由②得an+1=

bnbn+1

，③
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

，
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差数列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{

bn

}是等差数列，
故bn=n2，
当n≥2时，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴Sn=1-

1

n

，（n≥2），
当n=2时，

7

5

S2=

7

10

＜T2，
当n=3时，

7

5

S3=

14

15

＜T3，
当n≥4时，Tn≥

1

1

+

1

22

+

1

32

+

1

42

=

205

144

＞

7

5

，
而

7

5

Sn=

7

5

(1-

1

n

)＜

7

5

，
综上，

7

5

Sn＜T_n．

点评：本题考查等差数列的证明和不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．