Question

（本小题满分14分）

如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.

记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

 （1）求V(x)的表达式；

 （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

 （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线

AC与PF所成角的余弦值。

Answer 1

3（1-）(0<x<3)

x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 

 

解析:

(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,    从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。

四棱锥的底面积S=-

而△BEF与△BDC相似，那么

===

则S=-=（1-）63=9（1-）

故四棱锥的体积V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0<x<3)

(2) V’(x)= 3-x²(0<x<3)

令V’(x)=0得x=6

当x∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递增；x∈(6，3)时V’(x)><0,V(x)单调递减；

因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 

     (3)过P作PQ∥AC交AB于点Q

那么△PQF中PF=FQ=，而PQ=6

进而求得cos∠PFQ=     

故异面直线AC与PF所成角的余弦值为    .