Question

（本题满分14分）已知函数. 

（1）是否存在实数使函数f(x)为奇函数？证明你的结论；

（2）用单调性定义证明:不论取任何实数，函数f(x)在其定义域上都是增函数;

（3）若函数f(x)为奇函数，解不等式.

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，函数f(x)为奇函数；（2）证明：见解析。

（3） 

【解析】

试题分析：（1）根据f(x)为奇函数，可确定f(-x)+f(x)=0恒成立.从而可得a值.

（2）利用单调性的定义证明分三个步骤：一取值，二作差变形判断差值符号，三确定单调性.

（3）利用单调性与奇偶性把不等式转化为进一步转化为,

然后利用单调性转化为求解.

（1）     函数f(x)的定义域为  即 …1分

假设存在实数使函数f(x)为奇函数，

由得  解得    …2分，

当时，函数f(x)为奇函数……………4分

（2）证明：任取，且

            …7分

  ， 

又

即  

不论取何值，函数f(x)在其定义域上都是增函数. …………9分

（3）由得 

函数f(x)为奇函数

由（2）已证得函数在Ｒ上是增函数

 

 

不等式的解集为…………14分

考点：函数的奇偶性，单调性的证明，解抽象函数的不等式，一元二次不等式.

点评：判定函数的奇偶性先确定定义域是否关于原点对称；利用单调性证明证明时要注意三个步骤一取值，作差变形，得出结论.变形的目的是判断差值符号.解抽象不等式要注意利用单调性脱掉法则符号f转化为普通不等式求解.