Question

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=

2

，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）利用AD∥BC，将异面直线AD与BE所成的角，转化为平面角．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，
∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．
∴OE为△PAC的中位线．
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，∴∠CBE就是异面直线AD与BE所成的角或补角．…（8分）
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD．
又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC．又因为PD∩DC=D，
所以BC⊥平面PDC．
在Rt△BCE中BC=

2

，EC═

1

2

PC=

2

，∴∠CBE=

π

4

．
即异面直线AD 与BE所成角大小为

π

4

．                    …（12分）

点评：本题主要考查线面平行的判定，以及异面直线所成角的大小，要求熟练掌握空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判定定理和性质定理．