Question

已知抛物线C₁：y²=4x，圆C₂：（x-1）²+y²=1，过抛物线焦点的直线l交C₁于A，D两点，交C₂于B，C两点，如图．
（1）求|AB|•|CD|的值；
（2）是否存在直线l，使kOA+kOB+kOC+kOD=3

2

，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l：my=x-1，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

my=x-1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0，能求出|AB|•|CD|的值．
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由kOA+kOD=

y1

x1

+

y2

x2

=

x1y2+x2y1

x1x2

=

y1y2(y1+y2)

4x1x2

=-4m，知

(x-1)2+y2=1 my=x-1

⇒y2=

1

1+m2

，由此能求出存在直线它的方程为

2

x+y-

2

=0．

解答：解：（1）设直线l：my=x-1，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由

my=x-1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0，
得到y₁y₂=-4，x₁x₂=1，
∴|AB|•|CD|=（x₁+1-1）（x₂+1-1）=x₁x₂=1．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由（1）知

(x-1)2+y2=1 my=x-1

⇒y2=

1

1+m2

，B(1+

m

1+m2

，

1

1+m2

)，
∴C(1-

m

1+m2

，-

1

1+m2

)，
∴kOB+kOC=

y3

x3

+

y4

x4

=

x1y2+x2y1

x1x2

=-2m，
∴m=-

2

2

，
此时直线l：-

2

2

y=x-1，
由

- 2 2 y=x-1 y2=4x

⇒y2+2

2

y-4=0，
∴|AD|=

1+m2

|y1-y2|=6，
|AB|+|CD|=2|BC|?|AD|=3|BC|=6，
所以|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，
所以存在直线它的方程为

2

x+y-

2

=0．…（15分）

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．